DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL

Son dos las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística.

La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores).

La distribución normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitud de fenómenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los más famosos matemáticos de la historia. La gráfica de la distribución normal en forma de campana se denomina Campana de Gauss.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705) es la principal distribución de probabilidad discreta.

Si en una experiencia aleatoria únicamente consideramos dos posibilidades: que ocurra el suceso A o que no ocurra ( que ocurra A’, el complementario de A ), se trata de una experiencia dicotómica.

Si repetimos n veces una experiencia dicotómica y llamamos X a la variable que cuenta el número de éxitos, resulta que:

X es una variable discreta que puede tomar los valores: 0,1,2,3,4,5,...........n.

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario_ A’, (fracaso).

• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

• La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de __ es 1- p y la representamos por q

• El experimento consta de un número n de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

Pues bien, a la distribución de probabilidad de la variable X se le llama Distribución Binomial B(n,p).

La probabilidad de que X tome el valor x es :

DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal.

La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (Mu) y la desviación estándar (Sigma).

  

Su función de densidad es:

Interpretación probabilista

Algunas características de la distribución normal son

La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal. Media, mediana y moda coinciden.

Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a distancia σ de μ.

Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…

·         a distancia σ,              è tenemos probabilidad 68%

·         a distancia 2 σ,          è tenemos probabilidad 95%

·         a distancia 2’5 σ         è tenemos probabilidad 99%

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de funciones ‘comunes’.

Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal tipificada.

Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.

Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.