viernes, 12 de diciembre de 2014
TALLER DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS
DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL
1. El 40% de los
votantes inscritos en ciertos barrios de Bogotá apoyan al partido A. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de siete
votantes de ese puesto de votación:
a) exactamente cinco apoyen a A?;
b)
por lo menos dos apoyen a A?;
2.
En la producción
de un determinado artículo
encontramos que de los artículos que se producen, el 15% de ellos resultan
defectuosos. Si se toma una muestra de ocho artículos, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) tres sean defectuosos?
b) siete no sean defectuosos?
3.
Se sabe que el 70% de los miembros de la universidad son fumadores; en
una muestra aleatoria de 18 fumadores, ¿cuál
es la probabilidad de que haya exactamente 16 fumadores?
4.
El 15% de los artículos
producidos mediante cierto proceso son defectuosos. Se toma al azar una muestra
de diez artículos,
¿cuál es la probabilidad de que:
a) ninguno sea defectuoso?.-
b)
por lo menos dos no sean defectuosos?
c)
como máximo
dos sean defectuosos?
5.
Existe un 80% de probabilidad de que un tipo determinado de componentes se
comporte adecuadamente bajo las condiciones de alta temperatura. Si el
dispositivo en cuestión
tiene cuatro de tales componentes, determine la probabilidad en cada uno de
los siguientes eventos,:
a) todos los componentes se comportan
adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operacional;
b) el dispositivo no es operacional porque
falla uno de los cuatro componentes;
c) el dispositivo no es operacional porque
falla uno o más
de los componentes.
EJERCICIOS
DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NORMAL
1.
Un fabricante de transformadores de corriente, asegura que los aparatos que
vende tienen una vida útil media de 80.000 horas y una desviación estándar de
8.000. Suponiendo que esta vida útil está distribuida normalmente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un
transformador dure más de 96.000 horas?
b) ¿Cuál es el porcentaje de transformadores
que duran menos de 70.000 horas?
2.
En examen practicado a 1.500 estudiantes, la calificación promedio fue de 3,6 y
la desviación típica de 0,6. Si las calificaciones se distribuyen normalmente,
¿cuántos estudiantes obtuvieron:
a) calificaciones entre 3,5 y 4,0?
b)
Calificaciones entre 2,0 y 3,0?
c)
Calificaciones de 4,0 y más?
3.
Si la estatura promedio de un grupo de 1.000 personas fue de 160 centímetros y
la desviación
estándar es de 10 cm, además se sabe que se distribuyeron normalmente, ¿cuál es la
probabilidad de que una persona mida:
a) entre 140 y 165 centímetros ?
b) Entre 170 y 180 centímetros ?
c)
185 y más?
d)
130 y menos?
4.
La vida útil de las pilas de cierta marca están distribuidas normalmente; con
un promedio de 700 horas y desviación estándar de 25 horas cual es la probabilidad de que una pila,
a) Tengan una duración superior a las 756 horas?
b) Entre 720 y 780 horas?
5.
Si la vida media de una batería es de 30 meses, con una
desviación típica de 6 meses, cual es la probabilidad de que
a)
Una baterías
dure menos de 18 meses;
b) más de 36 meses
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCION
BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL
Son
dos las distribuciones de probabilidad más importantes y que son
imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia
estadística.
La
distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas
distribuciones discretas (que solo pueden tomar un número finito, o infinito
numerable, de valores).
La
distribución normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en
multitud de fenómenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss
(Alemania, 1777-1855), uno de los más famosos matemáticos de la historia. La
gráfica de la distribución normal en forma de campana se denomina Campana de
Gauss.
DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
La
distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705)
es la principal distribución de probabilidad discreta.
Si
en una experiencia aleatoria únicamente consideramos dos posibilidades: que
ocurra el suceso A o que no ocurra ( que ocurra A’, el complementario de A ),
se trata de una experiencia dicotómica.
Si
repetimos n veces una experiencia dicotómica y llamamos X a la variable que
cuenta el número de éxitos, resulta que:
X
es una variable discreta que puede tomar los valores: 0,1,2,3,4,5,...........n.
Supongamos
que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
•
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A
(éxito) y su contrario_ A’, (fracaso).
•
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
•
La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p,
y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de __ es 1- p y la representamos
por q
•
El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo
experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución
Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos
obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable
aleatoria binomial.
Pues
bien, a la distribución de probabilidad de la variable X se le llama Distribución
Binomial B(n,p).
La
probabilidad de que X tome el valor x es :
DISTRIBUCION NORMAL
La
distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más
importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta
por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas
formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada
por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y
continuas, como se demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las
consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución
normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología,
física, economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina
y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución
normal.
La
distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media
(Mu) y la desviación estándar (Sigma).
Su función de densidad es:
Interpretación probabilista
Algunas características de la distribución normal son
La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y
unimodal. Media, mediana y moda coinciden.
Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a
distancia σ de μ.
Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos
están…
·
a distancia σ, è tenemos probabilidad 68%
·
a distancia 2 σ, è tenemos
probabilidad 95%
·
a distancia 2’5 σ
è tenemos probabilidad 99%
No es posible calcular la probabilidad de un intervalo
simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene
primitiva expresable en términos de funciones ‘comunes’.
Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse
mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se
llama normal tipificada.
Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos
comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.
Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se
denomina valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo)
con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir
En el caso de variable X normal, la interpretación es
clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por
debajo.
Nos permite así comparar entre dos valores de dos
distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.
sábado, 6 de diciembre de 2014
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
TALLER DE ESTADISTICA
1.
Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20
peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la
canasta?
2.
En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y
20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?
3.
En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que
al escoger una persona está no sea mujer?
4.
¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si
se compran los 3 boletas ?
5.
En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5
rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o
rubia es
6.
En un instituto hay 450
estudiantes, de los que 290 son chicos y el resto chicas. El 20% de los chicos
y el 10% de las chicas lleva gafas. Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que no lleve gafas?
7.
llevo en un
bolsillo 6 monedas de 10 céntimos, 2 de 20 céntimos y 2 de 1 €. Saco dos
monedas al azar, qué probabilidad hay de que:
a) las
dos sean de 1 euro
b) saque
1,10 euros.
8.
La probabilidad de que un hombre viva 20 años es del 25% y la de que su
mujer viva 20 años es 30%. Se pide calcular la probabilidad:
De
que ambos vivan 20 años.
De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
De que ambos mueran antes de los 20 años.
9.
La compañía farmacéutica A suministró 300
unidades de un medicamento de las cuales 10 eran defectuosas; la compañía B
entregó 100 unidades de las que había 20 defectuosas y la compañía C entregó
200 unidades de las que 25 eran defectuosas. Se almacenaron todas las unidades
de forma que se mezclaron aleatoriamente. Se toma una unidad al azar y se pide
calcular:
a)
Probabilidad de que sea de la compañía A.
b)
Probabilidad de que sea de la compañía B
c)
Probabilidad de que sea de C y defectuosa.
d)
Probabilidad de que sea de A y buena.
e)
Probabilidad de que sea buena.
f)
Probabilidad de que sea defectuosa.
10. Un 15% de los pacientes atendidos en un
hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos.
¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o
hipertenso?
11. Se sabe que el 50% de la población fuma y
que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea
hipertenso?
12.
Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2
azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera
sea azul, y las otras dos verdes.
13.
El partido A y el partido B concurren a unas elecciones en un municipio donde el 55 % de los
votantes son mujeres. Se sabe que el 40 % de los hombres votan al partido A y el 50 % al B. El 60 % de
las mujeres votan al partido A y el 20 % al B. El resto de electores no vota.
a) Halle la
probabilidad de que una persona, elegida al azar, no vote.
b) Sabiendo que una
persona, elegida al azar, ha votado al partido A, halle la
probabilidad de que sea mujer.
14. En una ciudad, el
60 % de los niños usa zapatillas deportivas, el 50 % usa ropa deportiva y el 20
% usa ambas prendas.
a) ¿Cuál es la
probabilidad de que un niño, elegido al azar, no use ninguna de las dos
prendas?
b) Si un niño usa
zapatillas deportivas, ¿cuál es la probabilidad de que no use ropa deportiva?
15. Las instalaciones de un
club tienen una sala de medios audiovisuales y una de informática. El 60% de
los socios utiliza la 1ª, el 30 % la 2ª y el 20 % ambas.
a) Calcule la probabilidad
de que un socio, elegido al azar, no utilice ninguna de las dos salas.
b) Si se sabe que un socio
utiliza la sala de audiovisuales, ¿cuál es la probabilidad de que no utilice la
de informática?
16. Una urna contiene 15
bolas, de las cuales 6 son azules y 9 son rojas. Se extraen sucesivamente y sin
reemplazamiento, 3 bolas, al azar.
a) Describa el
espacio muestral asociado al experimento.
b) Determine la
probabilidad de que se extraiga, al menos, una bola azul.
c) Halle la
probabilidad de que la tercera bola extraída sea roja.
17. Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S.
proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20 % de A,
un 30 % de B y el resto de C. El 80 % de los alumnos
de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.El 50 % de los alumnos de B
cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60 % de los alumnos de C
cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.
a) Seleccionado, al
azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., ¿cuál es la probabilidad
de que sea de 2º ?
b) Si elegimos, al
azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, ¿cuál
es la probabilidad de que proceda de la localidad B ?
18. Si las probabilidades de que, en condiciones de
garantía, un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisión o
ambos, son 0.87, 0.36 y 0.29,¿cuál es la probabilidad de que un auto requiera
uno o el otro tipos de reparación durante el período de garantía? r=0.94
19. Un
departamento de policía necesita nuevos neumáticos para sus patrullas, y
existen 0.17, 0.22, 0.03, 0.29, 0.21 y 0.08 de probabilidades de que adquiera
neumáticos de las siguientes marcas: Uniroyal, Goodyear, Michelin, General,
Goodrich o Armstrong. Determine las probabilidades de que compre, a. neumáticos
Goodrich o Goodyear, b. neumáticos Uniroyal, General o Goodrich, c. neumáticos
Michelin o Armstrong, d. neumáticos Goodyear, General o Armstrong.
R =a. 0.43 b.
0.67 c. 0.11 d. 0.59
20. La probabilidad de que el chip de un circuito
integrado tenga un grabado defectuoso es de 0.12, la probabilidad de que tenga
un defecto de cuarteadura es de 0.29 y la probabilidad de que tenga ambos
defectos es de 0.07. a. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación
reciente tenga ya sea un defecto de grabado o de cuarteadura r=a.0.34
21. La probabilidad de que un nuevo aeropuerto
obtenga un premio por su diseño es de 0.16, la probabilidad de que obtenga un
premio por su eficiente uso de materiales es de 0.24 y la probabilidad de que
obtenga ambos premios es de 0.11. a. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al
menos uno de los dos premios?,
r=a.0.29
22. Con base en experiencias pasadas, un corredor de
bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente
invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuesto, en fondos
mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una
probabilidad de 0.15. En este momento, encuentre la probabilidad de que el
cliente invierta a. ya sea en bonos libres de impuesto o en fondos
mutualistas, r=a. 0.75
23. La probabilidad de que un médico diagnostique
correctamente una enfermedad en particular es de 0.7. Dado que realice un
diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una
demanda es de 0.9. ¿Cuál es la
probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el
paciente lo demande?
r=0.27
24. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que
operan independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico esté
disponible cuando se necesite es de
0.96. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso
necesario?,
r=a.0.0016
25. La probabilidad de que Tom sobreviva 20 años más
es de 0.7 y la de que Nancy lo haga de
0.9. Sí se supone independencia para ambos, ¿cual es la probabilidad de que ambos
sobrevivan 20 años? ¿cual es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20
años?
a. r= 0.63 b. r= 0.03
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